Geometría euclidiana y no euclidiana.

La geometría es una de las muchas ramas que se recogen en las matemáticas. A lo largo de su historia han habido diferentes visiones e interpretaciones, no obstante las más influyentes y aceptadas son la euclidiana y la no euclidiana. Las primeras deben su nombre al matemático griego Euclides quien enunció diferentes axiomas (cinco en total) que definen las normas básicas para comprender y diseñar figuras geométricas. Algunos de los axiomas más importantes son los siguientes; el axioma de incidencia (existe una línea recta que une dos puntos distintos), el axioma de continuidad (existe una línea recta que pasa por un punto y que es paralela a otra línea recta) y el axioma de la medida (se puede calcular la distancia entre dos puntos con una unidad de longitud).

Por otro lado, la geometría no euclidiana se concibió a mediados del siglo XX como la posibilidad de construir otro tipo de figuras geométricas que no cumplieran los axiomas euclidianos o, como en determinados casos, que los cumplieran parcialmente. Además, estas figuras eran coherentes y consistentes por medio de postulados que diferían de los euclidianos. Esta labor la llevaron a cabo matemáticos como Gauss y Bolyai. Este radical cambio de perspectiva generó controversia entre los más firmes defensores del anterior modelo. Más tarde, no obstante, las implicaciones y utilidad en numerosos campos facilitó que fuera finalmente aceptada.

A partir de entonces se han desarrollado distintas variantes de este tipo de geometría, como la hiperbólica, la esférica y la elíptica las cuales voy a proceder a explicar de forma abreviada. La geometría hiperbólica se realiza en espacios de tres o más dimensiones, mas nunca en un plano, y cumple, además, el axioma de continuidad. Los modelos de Poincaré* (https://www.youtube.com/watch?v=BxtaQ-wFuTs) o del disco de disco de Beltrami son algunos ejemplos. Respecto a la geometría esférica, sobresale la obligatoriedad que esta manifiesta únicamente en esferas, y que las líneas rectas son en realidad grandes círculos que se intersecan en dos puntos antipodales por lo que estrictamente el axioma de las paralelas erra puesto que todas las líneas rectas acaban encontrándose en algún punto. Por último, la variante elíptica es similar a la esférica en cuanto que incumple el axioma de las paralelas, añadiendo se diferencia de la hiperbólica porque la curvatura es constante mientras que en la hiperbólica es negativa. También se conoce como geometría riemanniana por las influencias del matemático al que debe su nombre, Bernhard Riemann. 

En conclusión, podría afirmar que la diferencia principal entre estos dos tipos de geometría es el hecho de que la euclidiana se representa principalmente en planos de dos dimensiones, ya que resultan mucho más fáciles de imaginar en comparación con sus homólogas no euclidianas puesto que imaginar una esfera o incluso un teseracto (un "cubo" de cuatro dimensiones), con una serie de reglas y extrapolaciones propias, complica la tarea de recrearlas en un plano mental. Podría decirse, por ende, que las euclidianas son afines a nuestra forma de imaginar el mundo mientras que las no euclidianas requieren de un grado de representación mayor, reservado a un escaso número de personas y a los sistemas computacionales. Dicho de otro modo, la geometría no euclidiana desafía a la intuición y a las concepciones que tenemos del mundo de Euclides. 

*Modelo de Poincaré: También llamado representación conforme, es un modelo de n-dimensiones en el cual los puntos y las rectas están en un disco/bola de n-dimensiones y las líneas rectas (que son realmente arcos de circunferencias) se encuentran contenidos en el disco/bola o en la misma frontera. Este modelo confirma que la geometría hiperbólica es consistente con la euclidiana, aunque no llega a cumplir el quinto postulado que afirma q un punto de una recta solo puede tener un recta paralela.